昨天一道高中的数学题，我竟然不会做了 点击：21981 | 回复：1402
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给大家一个分段函数的例子，与主楼题目有点类似：
作出函数f(x) =│x+1│+│x-1│的图像
分析：根据北师大版32页例题2，知函数f(x) =│x+1│+│x-1│去绝对值号后就变成分段函数：
1）x+1≥0 x≥-1 则 │x+1│= x+1
x+1＜0 x＜-1 则 │x+1│= -x-1
2）x-1≥0 x≥1 则 │x-1│= x- 1
x-1＜0 x＜1 则 │x-1│= -x+1
3）x≥1 则f(x) =x+1+x-1=2x
x＜-1 则f(x) =-x-1-x+1=0
-1 ≤x＜1 则f(x) =x+1-x+1=2
这个分段函数分三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两条射线，中间一条线段组成；
x≥1 y=2x
-1 ≤x＜1 y=2
x＜-1 y=0
分段函数是指一个函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，对应关系各不相同的函数。
刘志斌给大家的这个例子画f(x)=│x+1│+│x-1│的图象，是刘志斌胡乱搅出来的“错误解”！
大家看，把 f(x)=│x+1│+│x-1│写成分段函数的形式：
当自变量在左半开区间(-∞，-1 ]取值时，对应法则是y=-2x ,
例如：当x=-2 ,则f(-2)=-2(-2)=4；当x=-3 ,则f(-3)=-2(-3)=6； 但刘志斌却荒谬的把它胡搅成常函数y=0 ！
当自变量在右半开区间[1，+∞ )取值时，对应法则是y=2x , 但刘志斌却荒谬的把它胡搅成y=2x-2 ！
例如：当x=1 ,则f(1)=2(1)=2，但刘志斌的荒谬答案却是f(1)=2(1)=0 ! 显然，刘志斌画的黑色射线并不是“y=2x”！而实质上刘志斌画的是另一对应法则：y=2x-2 ！然而这另一对应法则y=2x-2 又与f(x)=│x+1│+│x-1│根本不搭界！
老王来纠正上述的刘志斌的谬误解！下面展示老王所做的正确解：
作函数f(x) =│x+1│+│x-1│的图象
分析：
1） x+1≤0 ， 有 x≤-1 则 │x+1│= -x-1 ；
x+1＞0 ， 有 x＞-1 则 │x+1│= x+1 ；
2） x-1＜0 ， 有 x＜1 则 │x-1│ = -x+1 ；
x-1≥0 ， 有 x≥1 则 │x-1│ = x -1 ；
3）当 x≤-1 则 f(x) =-x-1-x+1= -2x ；
当 -1＜x＜1 则 f(x) =x+1-x+1=2
当 x≥1 则 f(x) =x+1+x-1=2x
即：函数f(x)=│x+1│+│x-1│去绝对值符号变形为分段函数：
① x∈(-∞，-１]时 f(x)=f1(x)=-2x；
② x∈(-1，+１)时 f(x)=f2(x)= 2 ；
③ x∈[１，+∞) 时 f(x)=f3(x)=2x；
这个分段函数分三段，所以这个函数的图像由三段组成，左右两边各是一条射线，中间是一段水平(不含俩端点的)线段：
根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像。作图时要注意每段曲线端点的虚实，因为横坐标相同的地方不能有两个以上的点。
注意：函数f(x) =│x+1│+│x-1│的图象是由三个区段组合而成的，左右两边各是一条射线：左边是由点(-1，2)发出，向左向上无限延伸的射线(如图中y= -2x所示)；右边是由点(1，2)发出，向右向上无限延伸的射线(如图中y=2x所示)。
这中间的一条水平线段的俩端点都是“虚点”（意即它的定义域不含俩端点，如图中红色线段y=2所示）。因为这俩端点所在的横坐标点已被俩射线的端点占用，而函数曲线上横坐标相同的地方不能有两个以上的点。
刘老师在1012楼回帖如下：
11、寒湘子的问题是，面对“函数式（f(x)-f(-x)）/x的定义域是“空集”，却按照代数式、代数运算的习惯思维，得出“有矛盾”、“不确定”、“此题缺少条件”、“是一个错题”等等，说明对函数及函数运算的基本知识没有！
12、寒湘子把x=2代入函数式lg(x)-lg(-x)=lg(2)-lg(-2)=lg(2)，说明了寒湘子错误的根源是面对“函数式（f(x)-f(-x)）/x的定义域是“空集”，按照代数式、代数运算的习惯思维，表现出异常的“不理解”，觉得不符合代数运算的公理……
这正是我的疑问！
首先，刘老师既然不知道（f(x)-f(-x)）/x的定义域不能是空集，为什么说f(x)=loga(x)是唯一满足题目的“基本初等函数”（大家帮助回忆一下，免得又说我造谣！）
其次，既然f(x)=loga(x)使得（f(x)-f(-x)）/x的定义域是空集，怎么还会有满足（f(x)-f(-x)）/x的定义域<0的x值呢？
在另外一处，刘老师承认函数是变量，为什么有不能按代数运算进行，函数的规则由谁来定呢？
刘老师一定会回避我的问题，因为我是在说谎是吗？
这是刘老师在1119楼的原话：
3、“定义域都没有元素，值域怎么会有元素！”，“定义域都没有元素”是针对函数式（f(x)-f(-x)）/x定义域是“空集”，“值域…有元素”是针对它是一分段函数而言的！
谎言就是谎言，刘老师讲分段函数你告诉我你是指f(x)是分段函数还是f(-x)是分段函数？在刘老师看来这是两个函数！如果f(x)是分段函数，按刘老师说f(x)=loga(x)，就是x>0是增函数，x<0无意义，那么这个函数的定义域就是{xIx>0}这是一个连续函数，所以f(x)必不是分段函数！定义在一个连续区间的可微函数怎么是分段函数！同理f(-x)（本来他就是函数f(x)当自变量以-x带入的函数值！刘老师一定要将它看成另一个函数，我们按刘老师的说法分析）的定义域是{xIx<0}也是一个连续区间上的连续函数并且可微！f(-x)也不是分段函数！
好了这里没有什么分段函数，除非自己定义，可使刘老师没有定义，定义的一个例子我早已给出，但是这是题目补充条件，不能由题目给出！所以刘老师就玩起变戏法，当x>0时我就说对数函数在坐标1、4象限，当x<0，我就说对数函数在2、3象限。但是当我说好吧我们来讨论x=2的情形吧，他又说你不能那样做！好了x=2不行，我x=-2总行吧?他说那也不行。x=0肯定不行。那刘老师告诉大家当(f(x)-f(-x))/x，x不可以任一实数带入求值，也就是说对于x为实数时那个表达式的值我们根本不知道！亲爱的，请告诉我这个值我根本不知道，我怎么知道是大于0、等于0、还是小于0呢？
引用 寒湘子 的回复内容：
谎言就是谎言，刘老师讲分段函数你告诉我你是指f(x)是分段函数还是f(-x)是分段函数？……
1、我说的分段函数，是在2楼说的；
3）这样f(x)-f(-x)是一个分段函数：
当x＞0时，f(x)-f(-x)=f(x)，这样，在区间（0，1）上，f(x)/x<0；
当x＜0时，f(x)-f(-x)= - f(-x)，这样，在区间（-1，0）上，-f(-x)/x<0；
4）图像如图：
2、你用得着在1128楼这样发问吗？
3、你为什么宁愿说一大堆废话，而不愿进入主题讨论？
4、因为你知道自己说主楼题目是“错题”“无解 "，是在撒谎！
蓝色的是刘老师在1117楼的原话，红色的是我的批注：
1、反函数就是 “在同一讨论中转换身份”，自变量变为因变量，因变量变为自变量！
这是反函数的定义吗，还是理解的函数是y=f(x)，反函数就可以写为x=f(y)这里根据刘老师的表述对应法则都是f，就是说反函数和函数对应法则相同。学过中学数学的人至少也应记得应该写成x=f^(-1)(y)，这里f^(-1)在教科书上是以f的-1次方的形式表示，读作f逆，表示f的反函数。我们自以为精通数学的大师，怎么可以认为x与y掉个位置就可以了？
2、寒湘子说“在同一讨论中不能转换身份！在同一坐标系上y=x^2,和x=y^2图象位置不同。我们在直角坐标总是以x为自变量，y为因变量的，不能变！”，是错误的；
x=y^2根本就不符合函数的定义或则说根本就不是函数，怎么能说图象经过旋转函数的类型和性质不变！
3、这个都不知道，寒湘子的本质暴露无疑！
不懂这个于本质有何关系，本质属于哲学，而反函数属于数学！
这是刘老师在1131楼的原话：
1、我说的分段函数，是在2楼说的；
3）这样f(x)-f(-x)是一个分段函数：
当x＞0时，f(x)-f(-x)=f(x)，这样，在区间（0，1）上，（f(x)-f(-x)）/x<0；
当x＜0时，f(x)-f(-x)= - f(-x)，这样，在区间（-1，0）上，（f(x)-f(-x)）/x<0；
4）图像如图：
2、你用得着在1128楼这样发问吗？
3、你为什么宁愿说一大堆废话，而不愿进入主题讨论？
4、因为你知道自己说主楼题目是“错题”“无解 "，是在撒谎
好了，刘老师讲分段函数是g(x)=f(x)-f(-x)，但是刘老师又讲f(x)-f(-x)的定义域是空集（刘老师是否还要否认），也就是说g(x)的定义域是空集了，既然定义域是空集，x就是不取任何实数。请问怎么可能分为x>0或x<0两段定义呢？
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