昨天一道高中的数学题，我竟然不会做了 点击：22034 | 回复：1402
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下来我专门讨论一下“函数图像变换”的问题。
1、“函数图像变换”，函数的类别并没有变化。是对数函数，图像变换后还是对数函数；是幂函数，图像变换后，还是幂函数；是正弦函数，图像变换后还是正弦函数，……。
2、举例说正弦函数，定义式的正弦函数是
y=sin(x)
3、正弦函数的映射关系sin( )，其实质是 正弦值=sin( 角)，用语言说正弦函数就是正弦值与角的映射；
4、举例说，由定义式正弦函数y=sin(x)，
1）x轴压缩ω倍得y=sin(ωx)；
2）沿x轴向左平移φ个单位得y=sin(ωx+φ)；
3）y轴拉伸A倍得y=Asin(ωx+φ)；
4）沿y轴向上平移B个单位得y=Asin(ωx+φ)+B；
5、寒湘子的观点是y=Asin(ωx+φ)+B，不是正弦函数；
6、我的观点，y=Asin(ωx+φ)+B是非定义式的正弦函数，定义式的正弦函数映射关系sin( )，才是正弦函数的特征算符；
7、我的观点，y=Asin(ωx+φ)+B是非定义式的正弦函数，自变量x、因变量y之间包含正弦算符sin( ) 之外的其它代数运算，这些都不能改变算符sin( ) 决定的基本运算法则。
老王，真的去找教科书了。有点意思了。我一直都搞不懂，对于刘老师数学中的“定义”有什么意义。
如我说：y=Asin(2x+1.57)+10不是正弦函数，刘老师讲它可以变换成正弦函数，那么也必能变换成余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。不仅如此它同样可变成指数函数、对数函数，通过泰勒级数展开成幂函数。你可以将它叫任何函数。干嘛一定是正弦函数！
这样就形成一个问题这个函数你可以是正弦函数也可以不是正弦函数。说是正弦函数也对，说不是正弦函数也对。
如果这样这个“函数”就不能成为数学研究的对象。因为数学里不允许A和非A同时成立。
反过来讲对数学“定义”的任意解读是错的和不容许的。“定义”是我们判断数学概念的对错的依据。根本就不存在“非定义式的”XX函数！
不讲逻辑、不是从数学定义本身来理解数学概念，并以错误的概念作为推理的根据，是刘老师根本性的错误。这一点我和老王的看法一样。刘老师给出对数函数不可能成为问题的解，偶函数可定不满足题目的解。
16、我们发现函数图形的“变换”，实际上是函数的自变量x、因变量y的取值在变化；也就是说自变量x、因变量y的物理意义在不断变化，简单说自变量x、因变量y不是原来的自变量x、因变量y了，是自变量x、因变量y的字母没有变，字母代表的变量的物理实质在偷偷地变化了！！！
1）举例说y=Asin(ωx+φ)+B是非定义式的正弦函数，自变量x是时间，(ωx+φ)才是角；
2）举例说y=Asin(ωx+φ)+B是非定义式的正弦函数，函数值y是角的对边+B，y-B是角的对边，(y-B)/A)才是正弦值 ；
3）也就是说，变换后的y=Asin(ωx+φ)+B式中，(ωx+φ)才是原来定义式的x；
4）也就是说，变换后的y=Asin(ωx+φ)+B式中，(y-B)/A才是原来定义式的y；
我从小学到大学，数学书也读了不少，只知道“特征值”“特征向量”不知道什么叫”特征算符”，我只知道sin、cos、log、ln等等是某种函数的名称或值某种映射关系的名称或符号。我们将当我们记y=f(x)，总是讲“y”是“x”的函数。如果括号里不是“x”，“y”和“x”的不是函数“f”。连这点简单的常识，刘老师不是不懂，就是不顾。
这在数学里到没有什么，刘老师可以建立自己的概念和推理体系。问题是刘老师视乎并不想公布他的体系。我只能讲在传统数学领域，刘老师关于本题的论述，基本全是错的。虽然如此，他的许多推理，还不得不依赖传统数学的概念。这很有点奇怪：在两个函数中讨论对称性和奇偶性。将f(x)和f(-x)看成两个函数这没有什么不可，但是凭哪条公理判断，这两个函数要满足同一个对应法则！
从严格的数学推理，刘老师的论述具有多变性、矛盾多多，你不能用反正法，不能用枚举法，甚至数学归纳法，如果你用，你会发现满足它结论的常常与其条件矛盾！
不过刘老师视乎很面向对象的，因为他的很多表述具有多态性：在不同语境下可能含义不完全相同！于是就有了怎么讲都对的感觉。不过，那是在谈数学还是脑筋急转弯呢！
19、我们看看寒湘子的一个计算，
刘老师：你又上当了，解法完全不对！
由y=4loga(-3x-6)+5=loga{[(-3x-6)^4]*a^5}
显然这第一个？={[(-3x-6)^4]*a^5}
同理第二个？={[(-3v-6)^4]*a^5}
但这只以为可以变成最总形式为对数函数的“复合函数”，但y=4loga(-3x-6)+5=f(x)并不是对数函数！
因为按照对数函数需要满足f(x*y)=f(x)+f(y)，把函数解析式带入：f(x*y)=4loga(-3xy-6)+5，而
f(x)+f(y)=4loga(-3x-6)+4loga(-3y-6)+10
我们假设x=y=-3则根据前一个式子f(9)=4loga(-35)+5无意义！
而按后者f(-3)+f(-3)=8loga3+10,有意义！两者运算肯定不相等！即不满足对数运算法则！故不是对数函数！
寒湘子这一段计算的意思是
1）定义式 y=loga(x) u=loga(v) 则 y+ u=loga(x) +loga(v)=loga(x×v)
2）完成各种变换后 y=4loga(-3x-6)+5 u=4loga(-3v-6)+5 y+ u=?
3）因为变换后上两式的 y、u不是“对数”，所以不能用对数运算法则“对数的和等于积的对数”，即 y+ u=?不能用对数运算法则；
4）y=4loga(-3x-6)+5 变形得 y=loga(-3x-6)^4+loga(a^5)=loga[(-3x-6)^4×(a^5)]
u=4loga(-3v-6)+5 变形得 u=loga(-3v-6)^4+loga(a^5)=loga[(-3v-6)^4×(a^5)]
5）y=loga[(-3x-6)^4×(a^5)]
u=loga[(-3v-6)^4×(a^5)]
此两式y、u是“对数”，可以用对数运算法则“对数的和等于积的对数”计算
y+u=loga[(-3x-6)^4×(a^5)] +loga[(-3v-6)^4×(a^5)]
=loga{[(-3x-6)^4×(a^5)]× [(-3v-6)^4×(a^5)]}
20、我的计算过程是：
1） y=4loga(-3x-6)+5 u=4loga(-3v-6)+5 y+ u=?
(y-5)/4=loga(-3x-6)
(u-5)/4=loga(-3v-6)
2）(y-5)/4、(u-5)/4是“对数”，可以用“对数的和等于积的对数”法则计算如下：
loga(-3x-6)+loga(-3v-6)=loga[(-3x-6)×(-3v-6)]= (y-5)/4+(u-5)/4=(y+u-10)/4
y+u=4loga[(-3x-6)×(-3v-6)]+10
=loga{[(-3x-6)^4×a^5]×[(-3v-6)^4×a^5]}
刘老师似乎很精通“函数图象的变换”，我们必须在仔细分辨刘老师的概念。
我们知道，图象可以平移、旋转或做以上复合运动，图象可以放大缩小，可以伸缩节点可以有规律或无规律的变形，所有这些，都可以成为变换。
函数也可以由一种关系变为另外一种关系。我们讲是什么函数，总是指当前表示是什么函数，而不管函数的前生今世。并且都是对当前的自变量和因变量而言。至于他还可以是什么，不做讨论。另外函数本身的运算（如卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换）也是函数的变换。
另外函数和图象是什么关系，刘老师也不谈。
这样将函数图象的变换一混合起来，你就什么都好像那么回事，又不似那么回事！
这是刘老师的高明之处：我什么都不说“不要定义”，我就什么都可说。比如一会我可以将函数变换、一会我讲的是图形变换、另一个时刻人家觉得不对了---我讲的是函数图象变换。
反正不管讲什么都对。
但是只要知道函数总是在特定坐标系中某些图象的解析或代数表达式。
就会发现图象没变，变的只是坐标系。是坐标系的变化使一些看起来复杂的函数，变成我们熟悉的基本初等或高等函数，而这些是严格定义了的。所以当一个复杂函数变为一个简单函数时，自变量和函数已经不是原来的变量。
刘老师错处在于故意或无意在变换中不更改中间变量标记，给人一种现在的x,y还是先前的x,y的概念。不过刘老师在一处已经承认，即是不同，那么现在的变换也就不能说明先前的关系！
刘老师讲：“函数图像变换”，函数的类别并没有变化。是对数函数，图像变换后还是对数函数；是幂函数，图像变换后，还是幂函数；是正弦函数，图像变换后还是正弦函数，……。
我们来看看上述话有几句是对的：
1、“函数图像变换”，函数的类别并没有变化
y=kx+b，一次函数；令x=(u-b)/k,y=u，改写自变量为x，y=x，幂函数（也是一次函数）
令x=(sinu-b)/k，y=sinu，改写自变量为x，y=sinx正弦函数
令x=(cosu-b)/k，y=cosu，改写自变量为x，y=cosx正弦函数
令x=(exp(u)-b)/k，y=exp(u)，改写自变量为x，y=exp(x)指数函数
令x=(u^a-b)/k，y=u^a，改写自变量为x，y=x^a幂函数
令x=(lnu-b)/k，y=lnu，改写自变量为x，y=lnx对数函数
还可以变为反正切函数等等。只要愿意可以变成任何类型函数。只要你说这是一类函数。何为，函数类别没有变化。
引用 寒湘子 的回复内容：
我从小学到大学，数学书也读了不少，只知道“特征值”“特征向量”不知道什么叫”特征算符”，我只知道sin、cos、log、ln等等是某种函数的名称或值某种映射关系的名称或符号。我们将当我们记y=f(x)，总是讲“y”是“x”的函数。如果括号里不是“x”，“y”和“x”的不是函数“f”。……
1、“我们将当我们记y=f(x)，总是讲“y”是“x”的函数。” ，y是因变量，x是自变量，f( )是函数映射关系，我叫它函数的特征算符；
2、举例说，
1）loga( )是对数函数的映射关系，
2）定义式y=loga(x )，就是对数y是真数x的对数函数；
3）非定义式对数函数y=-3loga(-4x-6)+5，有loga( )对数函数的映射关系，y不是对数值，x不是真数，所以叫它非定义式对数函数；
4）y=-3loga(-4x-6)+5总可以变形成
(y-5)/3=loga( -4x-6)；
对数是(y-5)/3，真数是-4x-6，对数(y-5)/3是真数-4x-6的对数函数，loga( )对数函数的映射关系
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