昨天一道高中的数学题，我竟然不会做了 点击：21981 | 回复：1402
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3、“至于其余演算，那是变换的问题。……”，那么“演算”或者“变换”前，是定义的幂函数，“演算”或者“变换”后，就不是定义式那样“简单的形式”，还叫“幂函数”吗？还是不能叫“幂函数”？
4、举例说，y=2(x)^1
1）寒湘子的观点是，y=2(x)^1不是幂函数，因为它不符合幂函数定义式y=(x)^a；
2）我的观点是，y=2(x)^1还是幂函数，但是，不是定义式的幂函数；举例说，y=2(x)^1的图像不再是y=(x)^1那样1、3象限的角的平分线；
3）我的观点是，凡是由基本初等幂函数“演算”或者“变换”后的函数，是“非定义式的”、“非简单的”、“非基本的”的幂函数，但都还是幂函数；
4）我的理由是，凡是由基本初等幂函数“演算”或者“变换”后的函数，都具有最基本的定义的幂函数的映射关系( ) ^a，映射关系( ) ^a是这类函数的“特征算符”；
5）我的理由是，凡是由基本初等幂函数“演算”或者“变换”后的函数，都具有最基本的定义的幂函数的映射关系( ) ^2，函数的图像、性质可以由最基本的定义的幂函数求得，它们之间的关系是同类幂函数中“个别”和“一般”的关系；
6）由基本初等幂函数“演算”或者“变换”后的函数，自变量、因变量之间还可能有包含幂算符( ) ^a之外的其它代数运算，这些都不能改变算符( )^a 决定的基本运算法则。
5、举例说，由定义式幂函数y=(x)^a，
1）x轴压缩b倍得y=(bx)^a；
2）沿x轴向左平移c个单位得y=(bx+c)^a；
3）y轴拉伸d倍得y=d(bx+c)^a；
4）沿y轴向上平移e个单位得y=d(bx+c)^a+e；
6、寒湘子的观点是y=d(bx+c)^a+e；，不是幂函数；
7、我的观点，y=d(bx+c)^a+e是幂函数，定义式的幂函数映射关系( )^a，才是幂函数的特征算符；
8、我的观点，y=d(bx+c)^a+e是幂函数，自变量、因变量之间包含幂算符( ) ^a之外的其它代数运算，这些都不能改变算符( ) ^a决定的基本运算法则。
按刘老师的说法：
y=exp(x)是指数函数，同时也是三角函数、幂函数、对数函数等等！
为什么呢？
1、y=exp(x)=exp(r)(cosz+i*sinz)，其中x=r+i*z，所以y 是正弦函数也是余弦函数！
2、y=exp(x)=1+(1/2!)*x+(1/3!)*x^2+...+(1/n!)*x^n+...所以y是幂函数！
3、y=exp(x)=ln{exp[exp(x)]}所以y也是对数函数！
因而幂函数规则、三角函数规则、对数函数规则都适用于指数函数。
应为y=f(x)=exp(x)所以根据幂函数规则同指数幂函数 f(xy)=f(x)*f(y),但是我们知道：对于指数函数f(x)*f(y)=f(x+y)，显然就不对了。这就是刘老师的讲法在数学上是行不通。定义基本函数的目的是为了研究一般函数的性质。这些函数通过变换可能成为某些基本函数的组合，但并不意味，就一定是基本函数。比如下列函数f(x)=sin(2x+3.1415926...)+x^1.2+exp(3.2x)+ln(0.7x)是什么函数！
刘老师的问题出在方法论和逻辑上，她的论述不能保证，在传统意义上概念定义和运算法则的确定性。
比如：y=sin(1/x)是幂函数还是正弦函数？其实都不是因为正弦函数定义域是全体实数，而这个函数显然不是。
刘老师的错误是基本概念的错误。在刘老师的观念里，一个概念的内涵和外延可以根据需要随时改变。否则就不能自圆其说！
比如为了说明y=100sin(2x+5)是正弦函数，他必须将值域扩充到[-100,100]；
为了说明y=sin(1/x)是正弦函数，必须将x=0排出定义域范围；
如果要说明y=2/sin(1/x)则麻烦了需要规定函数值域不包括0，定义域x不能为0，并且要排除所有使sin(1/x)=0的x值！
这里我们可以看到刘老师的观点的致命缺陷，我们为什么需要不断修改基本概念来说明问题？
最后刘老师只能讲“我说是就是了”，没有任何理由！
引用 寒湘子 的回复内容：
……
“既然不符合“定义”，我们怎能判断是“幂函数”？“正弦函数”？等等。。。。。。
1、“定义的就是最简单的形式 ”，或者说“定义的是最基本的形式”；
2、举例说，任意一个基本初等幂函数的定义式是y=f(x)，是最简单的形式，最基本的形式，对其专门定量讨论的结论，只适应定义式是y=f(x)；
1）举例说，y=f(x)表示对数函数，即y=f(x)=loga(x)，那么就是这个函数的映射关系f( )是对数函数的映射关系loga( )；
2）举例说，y=f(x)表示正弦函数，即y=f(x)=sin(x)，那么就是这个函数的映射关系f( )是正弦函数的映射关系sin( )；
3）举例说，y=f(x)表示幂函数，即y=f(x)=(x)^a，那么就是这个函数的映射关系f( )是幂函数的映射关系( )^a；
……
4）我们看到这个定义式的特点，就是只有关于这个函数映射关系f( )的一种运算符，再没有别的运算，所以是这种函数中“最简单的”，“最基本的”；
3、我们对已知基本初等函数定义式y=f(x)，进行有关的演算或者变换，
1）x轴压缩b倍得y=f(bx)；
2）沿x轴向左平移c个单位得y=f(bx+c)；
3）y轴拉伸d倍得y=df(bx+c)；
4）沿y轴向上平移e个单位得y=df(bx+c)+e；
4、寒湘子的观点是y=df(bx+c)+e，不是演算或者变换前的那个函数了；
5、我的观点，y=df(bx+c)+e还是原来的函数，定义式的函数映射关系f( )，才是函数的特征算符；
6、我的观点，y=df(bx+c)+e还是原来的函数，自变量、因变量之间包含f( ) 之外的其它代数运算，这些都不能改变算符f( ) 决定的基本运算法则。
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