昨天一道高中的数学题，我竟然不会做了 点击：21981 | 回复：1402
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刘老师：“既然你知道“高中数学中并没有无意义还可以继续算的方法”，那你就应该知道：
“ 如果f(x)-f(-x)=f(x)，那么等式两边同时减去f(x)有-f(-x)=0即f(-x)=0。”就是错误的推理！是无效的”。
我们来看一看其中的悖论：
刘老师一口咬定：“x>0时f(x)-f(-x)就是f(x)"文字”就是“数学符号是不是”等于“，如果刘老师承认就必须有f(x)-f(-x)=f(x)。而如果等式成立，数学上必有f(-x)=0。（刘老师讲因为f(-x)没有意义，所以不能这么运算，可是既然f(-x)”无意义“，从逻辑上讲f(x)-f(-x)也就无意义。既然无意义，你凭什么确定就是f(x)（它有意义呀！）。假如刘老师讲我可没有说”就是“可以写成”等于“那就是”不等于“了。那么为什么刘老师说[f(x)-f(-x)/x=f(x)/x呢。
其实不仅高中数学，而且所有方面数学不能够对未定义变量进行演算和推理。既然不能演算必然也不能用”=“，所以刘老师的结论必然是错的！
这些是刘老师的文字：
13楼“
3、当x＞0时，-f(-x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是f(x)；
4、当x＜0时，f(x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是- f(-x)；
5、这样当x＞0时，[f(x)-f(-x)]/x，可以理解为f(x)/x，在（0,1）区间上f(x)/x＜0；
6、这样当x＜0时，[f(x)-f(-x)]/x，可以理解为-f(-x)/x，在（-1,0）区间上-f(-x)/x＜0；
”
17楼”
3、这样函数：
当x＞0时，-f(-x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是f(x)；这时不能说-f(-x)=0；
当x＜0时，f(x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是- f(-x)；这时不能说f(x)=0；
“
请问："就是"的意思是“等于”还是“不等于”，“可以理解为”是不是”等价于“？请解释既然f(-x)或f(x)有一个无意义，为什么f(x)-f(-x)还可以得到一个有意义的变量呢？你没有进行演算，谁在帮你得出这些结论？
1、楼主 的问题给出的条件：
1）f(x)在0到正无穷大；
2）增函数；
3）f（1）=0；
2、符合三条件的函数f(x)，只有对数函数 logaX a＞1，
条件1）和2）不是分开的应该是“f(x)在0到正无穷大区间是增函数”和f(1)=0，符合这两个条件的函数有无限个随便写一个f(x)=IxI-1就是一个函数，当然f(x)=x-1,f(x)=x^2-1,f(x)=x^3-1,都满足题目条件。我们讲“没有定义”我们不知道x<0时x的形态。是根本没有“定义”还是什么变化规律根本题目中条件没有讲，我们可以随手画一个函数f(x)通过（1，0）点的增函数，其f(-x)必然过（-1,0）点。怎么讲符合条件的只有对数函数 logaX a＞1？
引用 煙雨朦朦 的回复内容： 正是！题目条件不足，不能得到题目的解！
1、煙雨朦朦说“因为对于x<0，f(x)没有定义。同样对于x>0，f(-x)也是没有定义的。从而f(x)-f(-x)总有一个是不确定的。根据题目只能判定在负无穷到0区间上f(-x)是减函数，并且x=-1时f(-x)=0!而不能求出题目要求的x值范围！ ”
2、煙雨朦朦认为，“f(x)-f(-x)总有一个是不确定的”，他们的计算结果也不确定，或者无法进行计算；
3、煙雨朦朦要楼主增加函数的定义域，认为给定的定义域不足，说明煙雨朦朦对函数的定义域概念的理解是错误的！
4、我们只能在给定的函数定义域区间上进行有效计算，我们不能要求在“未定义的函数（在函数的未定义区间上）进行验算”！或者要求补充定义域！
5、煙雨朦朦认为“f(x)-f(-x)总有一个是不确定的”，所以无法计算；
6、实际上是f(x)-f(-x)总有一个是不在定义域上的，总有一个是不存在的，并不需要任何计算，在谁的定义域上，谁有效，不在谁的定义域上谁消失；
7、举例说：
1）当x＞0时，-f(-x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是f(x)；
2）当x＜0时，f(x)不存在，所以f(x)-f(-x)就是- f(-x)；
3）这样当x＞0时，[f(x)-f(-x)]/x，可以理解为f(x)/x，在（0,1）区间上f(x)/x＜0；
4）这样当x＜0时，[f(x)-f(-x)]/x，可以理解为-f(-x)/x，在（-1,0）区间上-f(-x)/x＜0；
如图：
引用 煙雨朦朦 的回复内容：
……随便写一个f(x)=IxI-1就是一个函数，当然f(x)=x-1,f(x)=x^2-1,f(x)=x^3-1,都满足题目条件。我们不知道x<0时x的形态。是根本没有“定义”还是什么变化规律根本题目中条件没有讲，……
1、这才是 煙雨朦朦 犯错的根本原因；
2、当然，一个题目离开它的教材，离开它出现的环境，就失去这个题目本身的环境约束，任人猜想！
3、所以我说，这个题目与出现的教材的章节有关系；
4、题目讲的确实是对数函数，因为只有对数函数的定义域是x＞0；
5、可是，不了解对数函数的人，可以想象出“f(x)=IxI-1、f(x)=x-1、f(x)=x^2-1、f(x)=x^3-1、……，而且f(x)=x^2-1与f(x)=x^3-1，在x<0时的f(x)形态完全相反，一个是减函数一个是增函数，并不是x<0时 f(x)无意义，而是不确定！
6、这才是煙雨朦朦 说的“不确定”的真实含义！并不是x<0时 f(x)无意义！
刘老师讲：实际上是f(x)-f(-x)总有一个是不在定义域上的，总有一个是不存在的，并不需要任何计算，在谁的定义域上，谁有效，不在谁的定义域上谁消失；
请问：减数和被减数总有一个不存在，差能够计算得出吗？哪一条代数规则或算术规则，容许刘老师这样计算。如果是计算机来完成计算，情况会怎样？除了编程时增加一条刘老师所定义的规则，计算机不会得到刘老师的结果。也就是说刘老师的结果除非就是那样，不会由有限的数学推导得到其结论。那么说刘老师的结论是“公理”而不是推论。请问：这条“公理”在哪本数学书上出现过？没有，必可称为“刘氏公理”。请问刘老师这条“公理”的用处是什么？
“而我的解法是，x<0时 f(x)无意义，即x＞0是函数f(x)的定义域，不是“不确定”的问题，而是很确定：
1）x<0时 f(x)无意义；
2）x＞0时 -f(-x)无意义；”
刘老师的根本错误在于谈f(x)可以不理会f(-x)，谈f(-x)可以不理会f(x)可事实上在数学上一旦出现f(x)-f(-x)的表述就是指一个新的函数g(x)=f(x)-f(-x)，这里x变量取同一数值（虽然数值可以变化，但-x总是x的相反数）。因而因为f(x)定义域为正实数，但是要使f(-x)有意义x又必须是负实数。但x不可能既是正实数又是负实数，所以自相矛盾，导致无解！于是刘老师为了使问题可以有解，抛出“刘氏公理”：f(x)-f(-x)当一个无意义或不存在，可以忽略！但毕竟数学里从来没有这么一条公理。
引用 煙雨朦朦 的回复内容：
……请问：减数和被减数总有一个不存在，差能够计算得出吗？哪一条代数规则或算术规则，容许刘老师这样计算。如果是计算机来完成计算，情况会怎样？除了编程时增加一条刘老师所定义的规则，计算机不会得到刘老师的结果。
1、“ f(x)-f(-x)”，是在定义域上的两个函数 f(x)、-f(-x)的代数和；
2、“ f(x)-f(-x)”图像，也可以理解为两个函数图像的叠加；
3、由于
1）x<0时 -f(-x)有意义有图像，f(x)无意义无图像不存在；
2）x＞0时 f(x)有意义有图像， -f(-x)无意义无图像不存在；
4、所以“ f(x)-f(-x)”图像，在x＞0时是 f(x)的图像，在x<0时是 -f(-x)的图像；
如图：
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