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水平运动物体的建模分析及控制涉及 点击：6276 | 回复：237



征

    
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发表于：2011-03-12 09:58:52
楼主

 

1 控制对象的建模：
假定运动物体质量为M， 对物体进行受力分析 
水平方向的力：
1） 运动过程中受到的与速度相关的阻力与运行速度成正比， 比例系数为Kv，单位为N*s/m  （牛秒/米）
2） 滑动摩擦系数为u， 即受到的滑动摩擦力为uG
3） 牵引力F
竖直方向的力：
1） 地面的支持力N
2） 物体的重力G


物体的受力分析如下图：


竖直方向的力N与G相等， 不会发生运动。
水平方向的运动方程： F = Ma + Kv V + uG
       式中a为加速度m/s2， V为物体的运行速度 m/s，u为滑动摩擦系数，G= Mg

即:  F= M dv/dt + Kv * V + uMg
建立以下的数学模型：

控制对象的传递函数为：

 

M/Kv的单位：Kg / （N*s/m）= Kg * m / (N * s) = Kg * m / (Kg * m * s(-2 )*s) = s  单位为秒


因此控制对象等效为一阶环节， 表示如下：



式中 Tm， 单位为秒， 即控制对象的时间常数， 通常以毫秒ms表示
单位为Kv ， 即牛秒/米

这一步已经推导出了控制对象的数学模型， 从数学模型上看， 控制对象已经被抽象成一阶环节， 但模型的参数是根据控制对象得来的， 每一个参数都有其特定的物理含义！

2。执行环节

要想对控制对象进行控制， 必须要有执行机构。

对任何执行机构而言，都有功率及输出作用力的限制，即执行机构不可能是功率无限大、输出作用力也不可能是无限大的。

从功率的计算公式P=FV来看， 特定的执行单元， 功率一定的情况下， 在运行达到平衡及加速度a = 0时， 其速度达到最大值！同样， 执行单元也不可能在速度v=0时， 输出无限大的作用力F。

这个特性由实际的执行机构所决定。

 

在这个模型中， 我们假定执行机构是线性放大环节， 输入为控制电压， 输出为作用力F， 因此执行机构的数学模型可以简单的描述为比例放大环节， 其单位为牛/伏， 即N/V。

上述简化中忽略了以下因素：

1）执行环节的时滞

2）执行环节的功率限制及作用力限制。

3）如果对执行机构采用内环输出力的闭环控制， 忽略内环的带宽和延迟带来的影响。

 

考虑到系统的快速响应及更好的控制性能， 可以对执行单元实行控制力的内环控制。在我们的模型中， 简单的认为其为比例放大环节。

执行机构的最大输出作用力会在控制器设计时进行限定！

执行机构的功率大小在后面的设计中也会予以考虑分析！

执行机构的特性可以用下面的图表示：

 在功率一定的情况下， 小于V0的速度时执行机构可以输出最大作用力， V0 = P/Fmax。

当速度高于V0时， 输出作用力与速度成反比。

在我们的模型设计中， 只限制最大输出作用力Fmax， 并将执行机构理想化为线性比例放大环节

 3. 控制系统设计

假设物体质量Ｍ＝１０Ｋｇ，滑动摩擦系数ｕ＝０．２，　Ｋｖ＝０．１，执行机构线性放大倍数为１００

控制目标：物体运行速度１０ｍ／ｓ, 阶跃信号给定，超调量小于５％

则开环控制时需要的作用力Ｆ＝０．２＊１０＊９．８＋１０　＊０．１＝２０．６Ｎ

对控制过程仿真如下：

 图中可以看出，物体速度达到９ｍ／ｓ的时间超过２００秒，控制对象存在很大时间延迟

采用下图的闭环控制：

整定ＰＩ控制器参数，　选取阻尼系数为０．７０７
kp ＝14.1411, Ti= 14.14ms 
不考虑执行机构的最大输出作用力限制时，仿真如下：
超调量４．３％，　上升时间小于４０ｍｓ但是最大作用力Ｆ达到了将近５０００牛顿。
考虑执行机构的最大输出作用力限制时，限制Ｆ最大为２００Ｎ时，仿真如下：
达到指令速度时间为５５０ｍｓ，超调量小于４．３％
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征

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发表于：2011-07-14 20:17:45
141楼

我帮braverider计算一下：

通过传递函数求得

由于F和uMg是常量的恒作用力，F- uMg = 20.6 - 19.6 = 1N ，拉氏变换后（变换公式见附表第3行）为
所以
进行拉氏反变换（变换公式见附表第9行）后：
由此看到速度上升为指数上升。
取不同的t值， 就得到该时刻的速度v(t)，t= 200s时， 速度
速度大约是8.6466m/s
附拉氏变换表：
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征

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发表于：2011-07-14 20:18:29
142楼
仿真图中200s的速度在8和9之间
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征

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发表于：2011-07-14 20:21:07
143楼

用微分方程表示：

F-uMg = Mdv/dt + Kv* v

即  Mdv/dt + Kv* v  + uMg - F = 0

求这个微分方程的解， 其解跟上面用拉普拉斯求得一样， 太烦了， 有兴趣的自己求求！

说实话， 我都忘记一阶微分方程怎么求解了， 要算得话也的翻书！

拉普拉斯变换后就是加减乘除， v(t)的n阶微分， 拉普拉斯变换后就是V(s) * s^n ， 计算求解方便多了。


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征

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发表于：2011-07-14 20:25:05
144楼

引用刘志斌 的回复内容：
6、如果运动物体从0到１０ｍ／ｓ期间的作用力始终是２０．６Ｎ ，那么启动到速度为10m/s时的加速度是0：

7、平均加速度是 （ 最大加速度+0）/2=0.05m/ss

8、如果运动物体从0到１０ｍ／ｓ期间的作用力始终是２０．６Ｎ ，那么启动到速度为10m/s时，共用时间是：

时间=V/加速度=10/0.05=200(s)





－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－



算来算去， 你算上Kv * v 的阻力了吗？

有这个随速度变化的阻力， 加速度恒定吗？

加速度不恒定的情况下， 平均加速度是 （ 最大加速度+0）/2=0.05m/ss

平均加速度是这么算吗？

一阶微分方程 Mdv/dt + Kv* v + uMg - F = 0  有这么求解的吗？



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征

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发表于：2011-07-14 20:28:22
145楼

老刘， 回去翻翻高等数学， 看看一阶微分方程怎么求解的， 再来算你的高论！

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征

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发表于：2011-07-14 20:29:09
146楼

搞懂了拉普拉斯变换， 然后再来看这个帖子！

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征

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发表于：2011-07-14 20:30:39
147楼
引用braverider 的回复内容：引用刘志斌 的回复内容：

14、我变换的结果是V(s)/s =F(s)/M ，而“征”、Luedong变换的结果是V(s)s =F(s)/M ，谁的正确呢？

15、还有一个鉴别错误的办法，就是检查等式两边的“量纲”！


我看了刘志斌的发言之后，感觉他的理论知识太需要加强了，写了一大堆1234，似是而非，完全是误导初学者。

 

所以你得出的结果是错误的。“征”是对的。

还有你所说的量纲，拜托，老刘，是复数。你不会认为它的单位是秒吧。



卖弄了， 见谅！
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braverider

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发表于：2011-07-14 21:08:13
148楼
“征”这可是老师讲课的态度呀，不错不错。
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征

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发表于：2011-07-14 21:47:56
149楼
纯属卖弄！工控论坛藏龙卧虎，各位高人见笑了！
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波恩

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发表于：2011-07-14 22:17:12
150楼

俗话讲：“哪哪人吃辣不怕辣，哪哪人吃辣辣不怕，哪哪人吃辣怕不辣”的吃辣境界。

如今这论坛里也有人步入了：“丢丑不怕丑——>丢丑丑不怕——>丢丑怕不丑”的至高境界！

 

本人早就声明过：

论坛不是传道授业的场所

论坛却是答疑解惑的场所

论坛也是拾遗补缺的场所

 

常在论坛混的少数咸菜干有在自己的能力范围内帮助众多嫩咸菜的义务和责任，但决没有装神弄鬼信口开河误导新人的权利，论坛不是技术冒充者鸣罢翠柳上青天的涂鸦墙，奉劝连自己在说什么都还搞不清的大神离论坛远一点。

最后建议业内技术工作者自觉抵制无所不知的大神，还论坛以公益、公知的良好技术交流氛围。

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刘志斌

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发表于：2011-07-14 22:42:33
151楼

引用征 的回复内容：

……

由于F和uMg是常量的恒作用力，F- uMg = 20.6 - 19.6 = 1N ，拉氏变换后（变换公式见附表第3行）

……

1、“征”前边的拉斯变换的结果是：MsV(s) = F(s) ；
2、“征”现在变换的结果是：                 F(s) =1/s；
3、我的变化结果是：                           MV(s)/s = F(s)
4、按照“征”的现在的变换结果，V(s) /F(s) = s/M是正确的，而V(s) /F(s) = 1/Ms是错误的！！！
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刘志斌

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发表于：2011-07-14 23:15:20
152楼

引用征 的回复内容：

……

所以


1、上式应该是V(s) = 10×0.01/s(0.01+s) ；

2、上式V(s) = 10×0.01/s(0.01s+1) 是错误的！

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 00:50:49
153楼

 

我来算，拉氏变换下的开环传输函数：

1、输出速度函数： v(t) = (F/M) t =(1/M) t             (F=20,6N-19.8N =1N)

2、输出速度函数v(t) 的拉氏变换：V(s) = (1/M) /s^2      (表序号4)

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 00:56:54
154楼

3、输入力F(t)函数：F(t) = 20,6N-19.8N =1N

4、输入力F(t)函数的拉氏变换：F(s) = 1/s       (表序号3)

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 01:01:05
155楼

5、拉氏变换下的开环传输函数如下：

      V(s) /F(s) = [(1/M) /s^2 ] / (1/s ) = 1/Ms

6、我说开环传输函数是 s/M 是错误的，错在推导方法不对！

7、“征”推导方法也不对；

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发表于：2011-07-15 01:20:33
156楼

我来算拉氏变换下的闭环传输函数G(s)：

1、已知反馈系数为Kv=0.1，开环增益为1/Ms，则闭环传输函数G(s)为：

      G(s) = (1/Ms) / [1+(1/Ms)Kv] = (1/Kv) / [1+(Ms)/Kv]

2、“征”的  G(s) = (1/Ms) / [1+(1/Ms)Kv] = (1/Kv) / [1+M/Kvs] 是错的！

3、我24楼的说法正确！

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 01:52:21
157楼

 

我来用拉氏传输函数计算楼主运动体的运动参数：

1、将 Kv = 0.1、M = 10Kg  、ｕ＝０．２、ｕMg = 19.6N 、F = 20.6N 代入传输函数：

       G(s) =  (1/Kv) / [1+(Ms)/Kv] = 10 / (1+100s)

2、求稳定输出速度、加速时间： 

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 02:17:01
158楼

3、输入拉氏函数F(s)：

1）力函数 F(t) = 20.6-19.6 = 1N；

2）输入拉氏函数F(s)为：F(s) = 1/s；

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 02:31:45
159楼

4、通过传输函数G(s)求输出速度函数V(t)：

    V(t) =L^(-1 )[G(s) ×F(s)]

           = L^(-1 )[10 / (1+100s) × 1/s ]

            =L^(-1 ){10×[1/s(1+100s)] }

            = L^(-1 ){10×[0.01/s(0.01+s)] }

            = 10×(1 - e^-0.01t)                                      (表序号9)

 

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刘志斌

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发表于：2011-07-15 03:15:56
160楼

5、由输出速度函数 V(t) = 10×(1 - e^-0.01t) 讨论：

1）当e^-0.01t→0时，V(t)有最大值= 10(m/s)；

2）e^-0.01t→0 ，e^0.01t→∞，t →∞，V(t)有最大值= 10(m/s)；

3）若 t = 100秒时，V(t) = 10 × (1 - e^-1) =10 × (1 - 1/2.7）=17/2.7=6.3（m/s）

4）若 t = 200秒时，V(t) = 10 × (1 - e^-2) =10 × (1 - 1/7.3）=63/7.3=8.6（m/s）

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