单级倒立摆建模
倒立摆系统的控制目标是通过给小车底座施加一个力u（控制量），使小车停留在预定的位置，并使杆不倒下，即不超过一预定定义好的垂直偏离角度范围。 图1单级倒立摆的结构：










    
图1  单级倒立摆系统示意图 

其动态方程如下： 
 
式中x1,x2分别为摆角和摆速， , 为小车的重量，m为摆杆质量， , 为摆杆的一半， ，u为控制输入。
3. 模糊控制器的设计及仿真
对倒立摆系统的控制研究引起国内外学者广泛关注，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量，非线性和绝对不稳定性的能力。下面我们就来讨论模糊控制在倒立摆控制系统中的应用。

（1）.系统的结构图如图2所示：
 
图2 模糊控制系统的结构

（2）设计四维模糊控制器，输入变量为x , x ′, θ, θ’,输出变量为u, 模糊控制器的结构如下：
 
(3) 模糊控制器的设计

位置指令为 取以下5种录属函数：
 
     
    利用逼近f和g 的模糊规则分别有25条。
根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图，如图3所示。

 
图3 隶属度函数
                        
3）单级摆模糊控制的仿真
模糊控制定义了三个不同阶段：一是模糊化阶段，即定义输入输出变量的模糊集；二是模糊推理阶段，即建立模糊规则，这些规则能根据偏差和它的变化得出控制信号的值；三是解模糊阶段，即根据推理阶段得到的值计算实际的输出值。单级倒立摆模糊控制器有四个输入： ,一个控制输出u。.其Simulink模型如图4所示：

 
图4： Simulink仿真图
其中chap5_3s为控制器的函数，chap5_3plant为控制对象。输入为 。输出y的仿真结果如图3所示，输出跟踪输入变化。












图5： 位置跟踪                                              图6： 控制量输出













图7：  仿真结果                           图8：  仿真结果