一、浮点数的表示

1、浮点数的表示格式

  浮点数，顾名思义，就是小数点不固定的数。计算机中，根据小数点位置是否固定，分为两种数据格式，一种就是这个，小数点不固定，另一种是定点数，小数点是固定的。

  书上科学地对浮点数表示法的定义是，以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。我们计算机的容量有限，不可能对每个数都用特别多的位数来表示，比如说2×10^99，这种非常大的数不可能用定点数来表示，所以呢利用浮点数就可以在位数有限的情况下扩大数的表示范围，同时能保持一定的有效精度。

  通常情况下，浮点数表示为：N = r^E × M

  式子里面r是浮点数阶码的底在计算机中是隐含的，通常情况下r=2。E和M都是带符号的定点数，E叫做阶码，M叫做尾数。其中E的大小越大，能表示的数范围越大，M的位数越大，数的有效精度越高。

  简单地举一个例子，1.111×2^100这里面1.111就是尾数，100就是阶码，显然这里阶码占的位数为3位，尾数占的位数是4位，假如阶码占的位数有4位，位数占的位数是3位（阶码和尾数所占位数总和不变），那么这个数就只能表示为1.11×2^0100，显然能表示的数的范围变大了，就这个例子来说原来尾数1.111转变为1.11损失了0.001，这就是精度的损失。

 浮点数的一般格式：

  这里J是阶符，表示阶码的符号，S是数符，表示浮点数的符号，阶符J和阶码的m位合起来表示浮点数的表示范围和小数点的实际位置，n位尾数反映了浮点数的精度。

2、浮点数的规格化

  为什么要进行浮点数的规格化呢，我们知道了浮点数的一般格式，同一个浮点数可以有很多表现形式，比如1.111×2^3，还可以表示为0.1111×2^4，还可以表示为11.11×2^2，那我们总不能任意地表示一个数吧，另外还有一个问题就是，如果尾数位数只有4位，我们想要表示同一个数1111采取两种方法，一个是 0.0111x2^5 和 0.1111×2^4（二者最高为是数符位S），我们可以很清晰地看到，如果采用阶码为5的方法，我们损失了一位精度，阶码为4的方法表示这个数更为精确。

  所以，为了提高运算精度，就要充分利用尾数的有效数位，也就是浮点数的规格化，即规定尾数的最高数位必须是一个有效值。非规格化数转变为规格化数，转变过程就是通过调整尾数和阶码的大小，使尾数最高位保证是一个有效值。通常有两种规格化操作：

  左规：当浮点数运算结果是非规格化数的时候，要进行规格化操作，将尾数算术左移一位，阶码减1（基数为2时），左规操作可能要进行多次。

  右规：当浮点数运算结果尾数出现溢出的时候，将尾数算术右移一位，阶码加1。需要右规操作的时候只需要操作一次。

  规格化浮点数的尾数M的绝对值应该满足这样的关系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我们的阶码的底，也是基数）。

  以r=2为例：

  1、原码尾数规格化后：正数为0.1xxxxxx形式，最大值为0.11......1;最小值为0.100......0。负数为1.1xxxxxx形式，最大值表示为1.10......0;最小值表示为1.11......1。

  2、补码尾数规格化后：正数同原码正数。负数为1.0xxxxxx形式，最大值表示为1.01......1;最小值表示为1.00......0。

  需要注意的是基数，刚刚是以基数为2时的规格化形式，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。基数不同的时候，规格化的形式不同，当基数为4时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为0；基数为8时，原码规格化形式的尾数最高三位不全为0。

  如何判断一个浮点数是否是规格化数：规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是个非零的数。因此对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第一位是否为1就行；对于补码表示的尾数，只要看符号位和尾数最高位是否相反。（IEEE 754标准的浮点数尾数是用原码编码的）

3、IEEE 754标准

  IEEE 754标准采用的浮点数的格式：

  ms为数符，表示浮点数的符号，E为阶码部分，用移码表示，M是尾数部分，用原码表示。

  IEEE 754标准规定常用的浮点数格式有短浮点数（单精度、float）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数。

  短浮点数数符占1位；阶码占8位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为127（阶码全1表示无限大，E的范围是1~254，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为23位。

  长浮点数数符占1位；阶码占11位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为1023（阶码全1表示无限大，E的范围是1~2046，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为52位。

  在IEEE754标准中长浮点数和短浮点数的尾数采用隐藏位策略的原码表示，什么意思呢。举个例子来说，以短浮点数为例，尾数占23位。我们知道，规格化浮点数后，尾数最高位一定是一位有效值，对于二进制浮点数来说，尾数最高位一定是1，那么我们为了充分利用资源，既然最高位一定是1了，我们干脆就把它隐藏好了，因此尾数实际上是24位，在表示的时候尾数23位是纯小数。比如说十进制12（1100），转化为二进制浮点数规格化后为1.1×2^3，这里我们就把整数部分的1 隐藏了，整数部分的1不存在23位尾数中，存的时候就是这样的32位：0   1000 0010   1000 0000 0000 0000 0000 000。

二、浮点数的加减运算

  浮点数运算的特点是阶码运算和尾数运算分开来算。加减运算一律采用补码。具体运算分为以下几步。

  1、对阶：对阶的目的是让两个数小数点的位置看齐，使这两个数的阶码相等。显然1.1×2^3和1.1×2^4是不能直接相加减的。原则是小阶向大阶看齐，像这个例子，就是1.1×2^3的尾数右移一位，阶码加一，直到两个数的阶码相等。

  2、尾数求和：阶码对齐之后就可以直接按照定点数的加减法则运算尾数了。

  3、规格化：尾数求和后的结果如果不是规格化数需要规格化，以双符号位运算为例的话，如果运算结果为正数，规格化的形式应该是00.1xxx......x,如果运算结果为负数，规格化后的形式应该是11.0xxx......x，不符合这种形式的数要进行左规或者右规的操作让其变成这种形式。（在尾数没有溢出的情况下，即尾数结果的双符号为不是10或01的时候，操作都是左规操作，左规操作可能不止进行一次，倘若双符号位为01或10则表明尾数已经溢出了，就要进行右规操作，右规只需要进行一次）

  4、舍入：在对阶和右规的操作中，我们都是将尾数右移，阶码加一，由于我们的位数是有限的，在右移的操作过程中很有可能就将低位的尾数丢失了，这会引起误差和精度问题。常用的减小误差的方法有“0”舍“1”入法：即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0则舍去，如果被移去的最高数值位为1则在尾数末位加1，如果加1之后又产生溢出则再右规操作一次。恒置“1”法：看名字就可以知道，无论丢掉的最高数值位是1还是0，都使右移后的尾数末位置1。这种方法可能使尾数变大或者变小。

  5、溢出判断：既然定点数运算可能溢出，浮点数同样也会溢出，我们已经知道浮点数的表示方法和加减运算规则，既然是溢出，那么肯定是超出了浮点数能表示的范围，浮点数的范围主要是由阶码决定的，如果运算结果规格化后阶码产生了溢出，那才是浮点数的溢出。浮点数的溢出与否是由阶码的符号决定的。以双符号位的补码为例，如果阶码的符号位出现01或10则说明阶码溢出了，01表示阶码大于最大阶码，上溢，进入中断处理；10表示阶码小于最下阶码，下溢，按机器零处理。（溢出时真值的符号位和高位符号位保持一致）还要注意的一点是尾数之和（差）可能会造成尾数的溢出，这并不代表整个的溢出，需要右规一次看阶码是否溢出才能判断。

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