偏微分方程

TensorFlow 不仅仅是用来机器学习，它更可以用来模拟仿真。在这里，我们将通过模拟仿真几滴落入一块方形水池的雨点的例子，来引导您如何使用 TensorFlow 中的偏微分方程来模拟仿真的基本使用方法。

注：本教程最初是准备做为一个 IPython 的手册。
译者注:关于偏微分方程的相关知识，译者推荐读者查看 网易公开课 上的《麻省理工学院公开课：多变量微积分》课程。

基本设置

首先,我们需要导入一些必要的引用。

#导入模拟仿真需要的库import tensorflow as tfimport numpy as np#导入可视化需要的库import PIL.Imagefrom cStringIO import StringIOfrom IPython.display import clear_output, Image, display

然后，我们还需要一个用于表示池塘表面状态的函数。

def DisplayArray(a, fmt='jpeg', rng=[0,1]): """Display an array as a picture.""" a = (a - rng[0])/float(rng[1] - rng[0])*255 a = np.uint8(np.clip(a, 0, 255)) f = StringIO() PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt) display(Image(data=f.getvalue()))

最后，为了方便演示，这里我们需要打开一个 TensorFlow 的交互会话（interactive session）。当然为了以后能方便调用，我们可以把相关代码写到一个可以执行的Python文件中。

sess = tf.InteractiveSession()

定义计算函数

def make_kernel(a): """Transform a 2D array into a convolution kernel""" a = np.asarray(a) a = a.reshape(list(a.shape) + [1,1]) return tf.constant(a, dtype=1)def simple_conv(x, k): """A simplified 2D convolution operation""" x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1) y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, [1, 1, 1, 1], padding='SAME') return y[0, :, :, 0]def laplace(x): """Compute the 2D laplacian of an array""" laplace_k = make_kernel([[0.5, 1.0, 0.5], [1.0, -6., 1.0], [0.5, 1.0, 0.5]]) return simple_conv(x, laplace_k)

定义偏微分方程

首先,我们需要创建一个完美的 500 × 500 的正方形池塘,就像是我们在现实中找到的一样。

N = 500

然后，我们需要创建了一个池塘和几滴将要坠入池塘的雨滴。

# Initial Conditions -- some rain drops hit a pond# Set everything to zerou_init = np.zeros([N, N], dtype="float32") ut_init = np.zeros([N, N], dtype="float32")# Some rain drops hit a pond at random pointsfor n in range(40): a,b = np.random.randint(0, N, 2) u_init[a,b] = np.random.uniform() DisplayArray(u_init, rng=[-0.1, 0.1])

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现在，让我们来指定该微分方程的一些详细参数。

# Parameters:# eps -- time resolution# damping -- wave dampingeps = tf.placeholder(tf.float32, shape=()) damping = tf.placeholder(tf.float32, shape=())# Create variables for simulation stateU = tf.Variable(u_init) Ut = tf.Variable(ut_init)# Discretized PDE update rulesU_ = U + eps * Ut Ut_ = Ut + eps * (laplace(U) - damping * Ut)# Operation to update the statestep = tf.group( U.assign(U_), Ut.assign(Ut_))

开始仿真

为了能看清仿真效果，我们可以用一个简单的 for 循环来远行我们的仿真程序。

# Initialize state to initial conditionstf.initialize_all_variables().run()# Run 1000 steps of PDEfor i in range(1000): # Step simulation step.run({eps: 0.03, damping: 0.04}) # Visualize every 50 steps if i % 50 == 0: clear_output() DisplayArray(U.eval(), rng=[-0.1, 0.1])

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