这里,我需要说明一下:
题目中的“f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句子仅只是表达:该函数f(x)在其定义域内的[0,+∞)区间上的“单调性”是增函数。并不是表达该函数f(x)的定义域为:[0,+∞)!
我们设函数f(x)的定义域为D。
一般地,对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量值x1、x2,当
x1<x2 时,如果恒有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数,如果恒有
f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
一般地,函数f(x)的“单调区间”的概念并不等于“定义域”的概念!
对于题目“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0,求(f(x)-f(-x))/x<0时x的范围”,如果单看其中“f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句,是不足以明确函数f(x)依随自变量x变化所对应的具体法则“f( )”的。
即便把条件“f(1)=0”结合起来看,即“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”也不足以明确函数f(x)依随自变量x变化的对应法则“f( )”!
题目中函数f(x)的具体法则“f( )”不明确时,该题目的解就可能不是唯一的。正因为该题目中f(x)的具体法则“f( )”不明确,我们便可以把它转化为我们解题时的“有利条件”:
只需我们随便举出一例符合该题意的某一个函数f(x)的具体法则“f( )”,并根据该例函数f(x)的法则“f( )”解出“(f(x)-f(-x))/ x <0 时x的范围”即可作为该题目的“正确答案”!
由该题目的核心内容“求(f(x)-f(-x))/x <0时x的范围”我们可以解读出该函数f(x)的定义域不只限于半闭半开区间“0到正无穷大”,它必定还延伸到x<0的区域。
如果该函数f(x)的定义域没有延伸到x<0的区域,那么该题目的核心内容
“求(f(x)-f(-x))/x <0时x的范围”就根本是毫无意义的!<研讨会宣传员-3259>是不会出一个根本毫无意义的题目来逗我们玩儿的!
所以,该题目如果有意义,那么该函数f(x)的定义域就必定延伸到x<0的区域,即该函数f(x)的定义域必定跨着原点左右两侧!
请网友们注意:老王并没有说该函数f(x)的定义域就必定是(-∞,+∞)!
符合该题目之“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”条件的函数是很多的。
譬如:
函数f(x)=x^2-1 符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”;
函数f(x)=(x^2)^(1/2) -1符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”;
……
但是,并不是单单符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”这两个条件就可以当作该题目所指的函数f(x)!上述的两例函数都是关于y轴成轴对称图形的函数,所以,它们都不可能让题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”有获得成立的范围!
这个是函数f(x)=x^2-1的图象:
下面这个是函数f(x)=(x^2)^(1/2) -1的图象:
现在老王来证明这个分段函数f(x)在0到正无穷大是增函数,且f(1)=0 .
证明:设x1,x2 是[0,+∞)上任意的两点,且0≤x1<x2 。
1)、∵当x在[0,+∞) 区间上时,f(x)函数关系的对应法则为f2(x)= 0.5x^2-0.5
则,f(x1)=0.5(x1)^2-0.5 ,f(x2)=0.5(x2)^2-0.5
∴ f(x1)-f(x2)=(0.5(x1)^2-0.5)-(0.5(x2)^2-0.5)=0.5((x1)^2-(x2)^2)
又∵ 0≤x1<x2 ∴ (x1)^2<(x2)^2 即:f(x1)<f(x2)
2)、当自变量值x=1 时,对应的函数值f(1)=0.5(1)^2-0.5=0.5-0.5=0
所以,f(x)=0.5x^2-0.5 在“0到正无穷大”即[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0 。
接下来证明该分段函数能让题目之核心部分中的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”在x≠0的实数范围内具有意义。
证明:设“x”、“-x”是函数f(x)定义域内任意的一对互为相反数的自变量值.
1)、当x>0时, 则:-x<0 ,
那么,f(x)=0.5(x)^2-0.5 ;f(-x)= (-x)^2-0.5
则:f(x)-f(-x)=(0.5(x)^2-0.5)-((-x)^2-0.5)
=(0.5(x)^2-0.5)-((x)^2-0.5)
=(0.5-1)(x)^2
= -0.5(x)^2<0
f(x)-f(-x)<0,而x>0,
即:不等式左边分式的分子、分母异号,不等式“(f(x)-f(x))/x<0”成立;
2)、当x<0时, 则:-x>0 ,
那么,f(x)=(x)^2-0.5 ;f(-x)=0.5(-x)^2-0.5
则:f(x)-f(-x)=((x)^2-0.5)-(0.5(-x)^2-0.5)
=((x)^2-0.5)-(0.5(x)^2-0.5)
=(1-0.5)(x)^2
=0.5(x)^2>0
f(x)-f(-x)>0,而x<0,
即:不等式左边分式的分子、分母异号,不等式“(f(x)-f(x))/x<0”成立。
所以,对于该分段函数f(x)有:自变量取除0之外的一切实数都能使不等式
“(f(x)-f(x))/x<0”成立!
即:对于该分段函数f(x)来说,当(f(x)-f(-x))/x<0时x的范围是“除0之外的一切实数”。
既符合题目之题设“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”,又能让题目之核心部分中的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义的函数也是很多的。
譬如:
分段函数f(x)=f1(x)=x(x-2)-2 (当x<0);f(x)=f2(x)=x(x+1)-2 (当x≥0). 也完全
符合题设之“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0 ”条件,并且,也能使题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义!
下面是分段函数f(x)=f1(x)=x(x-2)-2 (当x<0);f(x)=f2(x)=x(x+1)-2 (当x≥0).
的部分数据表: