首页 上一页 1 2 下一页 尾页

(新)解答<研讨会宣传员-3259>的题目 点击:932 | 回复:31



wanggq

    
  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 13:54:33
楼主

  

(新)解答<研讨会宣传员-3259>的题目

 

  网友<研讨会宣传员-3259>在《电工论坛》贴了一个题目如下:

   f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0,求(f(x)-f(-x)) /x<0时x的范围。

 




wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 13:55:49
1楼

 

  其实,这个题目也算比较简单!主要是关于函数的一些基础的知识!

         

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 13:57:12
2楼

 

  这里,我需要说明一下:

 

  题目中的“f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句子仅只是表达:该函数f(x)在其定义域内的[0,+∞)区间上的“单调性”是增函数。并不是表达该函数f(x)的定义域为:[0,+∞)!

  

  我们设函数f(x)的定义域为D。

 

    一般地,对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量值x1、x2

x1<x2  时,如果恒有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数,如果恒有

f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。

  

  一般地,函数f(x)的“单调区间”的概念并不等于“定义域”的概念!

 

  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 13:59:49
3楼

  

  对于题目“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0,求(f(x)-f(-x))/x<0时x的范围”,如果单看其中“f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句,是不足以明确函数f(x)依随自变量x变化所对应的具体法则“f( )”的。

 

   即便把条件“f(1)=0”结合起来看,即“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”也不足以明确函数f(x)依随自变量x变化的对应法则“f( )”!

 

  题目中函数f(x)的具体法则“f( )”不明确时,该题目的解就可能不是唯一的。正因为该题目中f(x)的具体法则“f( )”不明确,我们便可以把它转化为我们解题时的“有利条件”:

   只需我们随便举出一例符合该题意的某一个函数f(x)的具体法则“f( )”,并根据该例函数f(x)的法则“f( )”解出“(f(x)-f(-x))/ x <0 时x的范围”即可作为该题目的“正确答案”!

 

    

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 14:03:48
4楼

 

  符号“f(x)”既可以表达“函数本身”的意涵,又可以表达“函数的值”这另一个意涵!

  

  对于题目“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0,求(f(x)-f(-x))/x<0时x的范围”应该根据题目语境来判定该题目中符号“f(x)”的意涵。

 

  而符号“f(-x)”则纯粹是指“函数的值”!即当自变量在函数f(x)的定义域内分别取一对互为相反的数“x”和“-x”的值时,其自变量值“-x”所对应的“函数值”就是“f(-x)”。

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 14:13:29
5楼

  

  我们不要单看题目的“f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句,就错误的认为该函数的定义域仅限定在“0到正无穷大”!

 

  “f(x)在0到正无穷大是增函数”这一句,仅只是陈述该函数在半开区间[0,+∞)上的“单调”性质而已!

 

   其“f(1)=0”也只是描述该函数的曲线过(1,0)点而已。

 

  我们还应该注意题目的核心部分“求(f(x)-f(-x))/x <0时x的范围”!由此不等式我们可以看出题设函数f(x)必定在其定义域内存在互为相反的数“x”和“-x”,否则,题目将毫无意义!

                  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 14:18:35
6楼

  

  本题目“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0,求(f(x)-f(-x)) /x<0时x的范围”旨在考察学生能否正确理解函数“单调区间”与“定义域”两种概念的联系及区别;

 

  同时考察学生是否具有根据不同语境判别符号“f(x)”、“f(-x)”意涵之能力;以及考察学生是否掌握对曲线在平面直角坐标系中平移前后所分别对应的函数的知识。

  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 14:36:18
7楼

 

  由该题目的核心内容“求(f(x)-f(-x))/x <0时x的范围”我们可以解读出该函数f(x)的定义域不只限于半闭半开区间“0到正无穷大”,它必定还延伸到x<0的区域。

 

  如果该函数f(x)的定义域没有延伸到x<0的区域,那么该题目的核心内容

求(f(x)-f(-x))/x <0时x的范围”就根本是毫无意义的!<研讨会宣传员-3259>是不会出一个根本毫无意义的题目来逗我们玩的!

 

  所以,该题目如果有意义,那么该函数f(x)的定义域就必定延伸到x<0的区域,即该函数f(x)的定义域必定跨着原点左右两侧!

 

  请网友们注意:老王并没有说该函数f(x)的定义域就必定是(-∞,+∞)!

 

  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 15:03:10
8楼

  

  符合该题目之“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”条件的函数是很多的。

 

  譬如:

 

  函数f(x)=x^2-1 符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”;

 

  函数f(x)=(x^2)^(1/2) -1符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”;

 

  ……

 

  但是,并不是单单符合“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”这两个条件就可以当作该题目所指的函数f(x)!上述的两例函数都是关于y轴成轴对称图形的函数,所以,它们都不可能让题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”有获得成立的范围!

 

  这个是函数f(x)=x^2-1的图象: 

 

  下面这个是函数f(x)=(x^2)^(1/2) -1的图象:

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 15:08:40
9楼

  

  而老王一早例举的一个分段函数f(x)=f1(x) 当x<0;f(x)=f2(x) 当x≥0 ,就是既符合题目之题设“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”,又能让题目之核心部分中的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义的一个函数f(x)。

 

  当x在(-∞,0) 区间上时,f(x)函数关系的对应法则为f1(x)= x^2-0.5 ;

 

  当x在[0,+∞) 区间上时,f(x)函数关系的对应法则为f2(x)= 0.5x^2-0.5 。

 

 

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 15:19:14
10楼

  

  现在老王来证明这个分段函数f(x)在0到正无穷大是增函数,且f(1)=0 .

 

  证明:设x1,x2 是[0,+∞)上任意的两点,且0≤x1<x2 。

 

1)、∵当x在[0,+∞) 区间上时,f(x)函数关系的对应法则为f2(x)= 0.5x^2-0.5 

 

  则,f(x1)=0.5(x1)^2-0.5 ,f(x2)=0.5(x2)^2-0.5  

 

  ∴ f(x1)-f(x2)=(0.5(x1)^2-0.5)-(0.5(x2)^2-0.5)=0.5((x1)^2-(x2)^2)

 

 又∵  0≤x1<x2  ∴   (x1)^2<(x2)^2 即:f(x1)<f(x2)

 

2)、当自变量值x=1 时,对应的函数值f(1)=0.5(1)^2-0.5=0.5-0.5=0

 

所以,f(x)=0.5x^2-0.5 在“0到正无穷大”即[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0 。

  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 15:30:07
11楼

 

  接下来证明该分段函数能让题目之核心部分中的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”在x≠0的实数范围内具有意义。

 

证明:设“x”、“-x”是函数f(x)定义域内任意的一对互为相反数的自变量值.

 

  1)、当x>0时,  则:-x<0 , 

 

  那么,f(x)=0.5(x)^2-0.5 ;f(-x)= (-x)^2-0.5

 

则:f(x)-f(-x)=(0.5(x)^2-0.5)-((-x)^2-0.5)

       =(0.5(x)^2-0.5)-((x)^2-0.5)

       =(0.5-1)(x)^2

          = -0.5(x)^2<0

 

  f(x)-f(-x)<0,而x>0,

 

即:不等式左边分式的分子、分母异号,不等式“(f(x)-f(x))/x<0”成立;

 

  2)、当x<0时,  则:-x>0 ,

 

  那么,f(x)=(x)^2-0.5 ;f(-x)=0.5(-x)^2-0.5

 

则:f(x)-f(-x)=((x)^2-0.5)-(0.5(-x)^2-0.5)

       =((x)^2-0.5)-(0.5(x)^2-0.5)

       =(1-0.5)(x)^2

               =0.5(x)^2>0

 

  f(x)-f(-x)>0,而x<0,

 

即:不等式左边分式的分子、分母异号,不等式“(f(x)-f(x))/x<0”成立。

 

  所以,对于该分段函数f(x)有:自变量取除0之外的一切实数都能使不等式

“(f(x)-f(x))/x<0”成立!

  

  即:对于该分段函数f(x)来说,当(f(x)-f(-x))/x<0时x的范围是“除0之外的一切实数”。

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 15:54:04
12楼

 

   用具体的数据代入该分段函数f(x)来抽查检验是否能使不等式

(f(x)-f(-x))/x<0”成立?譬如:当x= -2 ,则 -x= 2 我们让自变量取这一对互为相反数的值,并在曲线上找出对应的f(x)和f(-x),即对应的f(-2)和f(2),经检验得到:“(f(-2)-f(2))/(-2)<0”成立。

 

   

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:00:06
13楼

        

  我们反过来抽查检验,当x=2 ,则 -x= -2 让自变量取这一对互为相反数的值,并在曲线上找出对应的f(x)和f(-x),即对应的f(2)和f(-2),经检验得到:

“(f(2)-f(-2))/2<0”也是成立的。

 

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:07:26
14楼

  

  我们再抽查检验,当x= 1 ,则 -x= -1 让自变量取这一对互为相反数的值,并在曲线上找出对应的f(x)和f(-x),即对应的f(1)和f(-1),经检验得到:该函数f(x)满足

题设的 f(1)=0,且“(f(1)-f(-1))/1<0”也是成立的。

 

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:24:18
15楼

   

  我们同样再反向抽查检验,当x= -1 ,则 -x= 1 让自变量取这一对互为相反数的值,并在曲线上找出对应的f(x)和f(-x),即对应的f(-1)和f(1),经检验得到:该函数

f(x)满足题设的 f(1)=0,且“(f(-1)-f(1))/(-1)<0”也是成立的。

 

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:31:53
16楼

  

  再用一组数据来说话:

 

  老王用的这一组具体数据,完全说明老王例举这个分段函数f(x)是符合<研讨会宣传员-3259>所给题目之题设“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”条件的,同时也能使题目核心部分的那个不等式(f(x)-f(-x))/x<0 在x≠0的实数范围内有意义!

 

 

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:33:34
17楼

 

  既符合题目之题设“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”,又能让题目之核心部分中的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义的函数也是很多的。

 

  譬如:

  

   分段函数f(x)=f1(x)=x(x-2)-2  (当x<0);f(x)=f2(x)=x(x+1)-2  (当x≥0). 也完全

符合题设之“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0 ”条件,并且,也能使题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义!

 

  下面是分段函数f(x)=f1(x)=x(x-2)-2  (当x<0);f(x)=f2(x)=x(x+1)-2  (当x≥0).

的部分数据表:

 

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 16:56:12
18楼

  

  又譬如:

 

  函数f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-1 . 也完全符合题目之题设的“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0 ”,并且,也能使题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”具有意义!

  

 

  

wanggq

  • 精华:2帖
  • 求助:0帖
  • 帖子:24帖 | 5342回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:10407
  • 注册:2004年8月21日
发表于:2014-04-13 17:13:42
19楼

  

  再譬如:

 

  函数f(x)=x-ln[(1+x)/2]-1. 同样也完全符合题目之题设的“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0 ”条件,并且,也能使题目核心部分的那个不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”有意义!

 

  

  ……等等,既能够满足题设的“f(x)在0到正无穷大是增函数,f(1)=0”条件,又能够让不等式“(f(x)-f(-x))/x<0”在函数定义域内具有获得成立范围的函数f(x)是数不胜数的!

  

 

 

yanwen0227

  • 精华:2帖
  • 求助:50帖
  • 帖子:579帖 | 9385回
  • 年度积分:0
  • 历史总积分:0
  • 注册:1900年1月01日
发表于:2014-04-13 17:21:29
20楼

楼主辛苦了!!!!!!


热门招聘
相关主题

官方公众号

智造工程师
    首页 上一页 1 2 下一页 尾页